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    <title>积分变换</title>
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</head>
<body>

<h2>Laplace 变换</h2>

<p class="definition">
  函数 `f` 的 Laplace 变换记为
  <span class="formula">
    `cc L[f(t)] = F(s) = int_0^oo "e"^(-s t) f(t) dt`,
    `quad "Re"(s) gt sigma`.
  </span>
  下文将 `f(t)` 和它的 Laplace 变换简记为 `f ~ F`.
</p>

<p class="corollary">
  <b>导数变多项式</b>
  若 `x(t) ~ X(s)`,
  则 `x'(t)` 的 Laplace 变换存在, 且有
  <span class="formula">
    `x'(t) ~ s X(s) - x(0)`.
  </span>
  由归纳法知
  <span class="formula">
    `x^((n+1))(t) ~ s^(n+1) X(s) - sum_(k=0)^n x^((n-k))(0) s^k`,
  </span>
  Laplace 变换将求导化为多项式, 大大简化了运算.
  这个性质可以与 Fourier 变换相比较.
</p>

<ol class="property">
  <b>Laplace 变换的运算性质</b>
  <li>线性性质: `cc L[a f(t) + b g(t)] = a F(s) + b G(s)`;</li>
  <li>位移性质: `cc L["e"^(-a t) f(t)] = F(s + a)`;</li>
  <li>延时性质: `cc L[f(t - tau)] = "e"^(-tau s) F(s)`;</li>
  <li>微分性质: `cc L[f'(t)] = s F(s) - f(0)`;</li>
  <li>积分性质: `cc L[f^((-1))(t)] = (F(s))/s + (f^((-1))(0))/s`; `f^((-1))`
    是 `f` 的原函数;</li>
  <li>卷积性质: `cc L[f(t) ** g(t)] = F(s) G(s)`;</li>
  <li>初值性质: `f(0^+) = lim_(s to oo) s F(s)`;</li>
  <li>终值性质: `f(oo) = lim_(s to 0^+) s F(s)`;</li>
</ol>

<p class="corollary">
  <b>Laplace 逆变换</b>
  <span class="formula">
    `f(t) = 1/(2 pi i) lim_(T to oo) int_(gamma-iT)^(gamma+iT)
    "e"^(st) F(s) "d"s`,
  </span>
  其中 `gamma in RR` 充分大, 使得积分路径位于 `F(s)` 的收敛域内.
</p>

<p class="example">
  <b>常见函数的 Laplace 变换</b>
  设 `p gt 0`, `z in CC`, `"Re"(s) gt "Re"(z)`, 则
  <span class="formula">
    `t^(p-1) "e"^(z t) ~ (Gamma(p))/(s-z)^p`.
  </span>
  特别
  <span class="formula">
    `"e"^(z t) ~ 1/(s-z)`.
  </span>
  令 `z = a "i"`, 分别取实部虚部得
  <span class="formula">
    `cos a t ~ s/(s^2+a^2)`,
    `quad sin a t ~ a/(s^2+a^2)`.
  </span>
  更完整的表格参见<a href="../analysis/0.html#0-3-1">附录</a>.
</p>

<p class="proposition">
  用 Laplace 变换解方程
  <span class="formula">
    `sum_(k=0)^n a_k x^((k))(t) = f(t)`.
  </span>
  记 `x(t) ~ X(s)`, `f(t) ~ F(s)`,
  Laplace 变换将方程变为
  <span class="formula align">
    `X(s) sum_(k=0)^n a_k s^k`<br>
    `= F(s) + sum_(k=0)^n a_k sum_(j=0)^(k-1) x^((j))(0) s^(k-1-j)`<br>
    `= F(s) + sum_(j=0)^(n-1) x^((j))(0) sum_(k=j+1)^n a_k s^(k-1-j)`<br>
    `= F(s) + sum_(j=1)^n x^((j-1))(0) sum_(k=j)^n a_k s^(k-j)`.
  </span>
  记 `p_j(x) = sum_(k=j)^n a_k s^(k-j)`, 上式可以写成
  <span class="formula">
    `X(s) p_0(s) = F(s) + sum_(j=1)^n x^((j-1))(0) p_j(s)`.
  </span>
  解出 `X(s)` 后, 适当分解分式, 再作 Laplace 逆变换解出 `x(t)`
</p>

<p class="example">
  用 Laplace 变换解<a class="ref" href="../ode/4.html#exp-2nd-linear-nonhomogen-1"></a>:
  <span class="formula">`{
    x'' + a^2 x = f(t);
    x"|"_(t=0) = x_0;
    x'"|"_(t=0) = x'_0;
  :}`
  </span>
</p>

<p class="solution">
  对方程两边作 Laplace 变换得
  <span class="formula">
    `X(s) (s^2+a^2) = x_0 s + x_0' + F(s)`,<br>
  </span>
  作 Laplace 逆变换得
  <span class="formula">
    `x = x_0 cos at + (x_0')/a sin at + int_0^t f(tau) sin
    [a(t-tau)]"d"tau`.
  </span>
</p>

<h2>Fourier 变换</h2>

<p class="definition">
  设 `f(x) in L(-oo, oo)`, 则积分
  <span class="formula">
    `hat(f)(xi) = int_(-oo)^oo f(x)"e"^(-2 pi"i" x xi) dx`
  </span>
  有意义, 称为 `f(x)` 的 <b>Fourier 变换</b>或 Fourier 变式.
  工程上, 常把 `x` 的定义域称为<b>时域</b>, `xi` 的定义域称为<b>频域</b>.
  本节的主要目标是证明下面这个优美的 Fourier 反演公式:
  <span class="formula">
    `f(x) = int_(-oo)^oo hat(f)(xi) "e"^(2 pi "i" x xi) "d"xi`.
  </span>
  上式称为 Fourier 逆变换, 它与 Fourier 变换仅在 `"e"` 的指数相差一个符号.
</p>

<p class="remark">
  `L(-oo, oo)` 表示在 `(-oo, oo)` 上可积函数的全体.
  下面无特别说明时, 总假定进行 Fourier 变换的函数是属于 `L(-oo, oo)` 的.
</p>

<ol class="property">
  <b>Fourier 变换的运算性质</b>
  我们用 `f ~ hat f` 表示 `hat f` 是 `f` 的 Fourier 变换.
  <li>线性性质: `a f + b g ~ a hat f + b hat g`;</li>
  <li>位移性质: `f(x) "e"^(-2 pi "i" h x) ~ hat(f)(xi + h)`, `h in RR`;</li>
  <li>延时性质: `f(x + h) ~ "e"^(2 pi "i" h xi) hat(f)(xi)`, `h in RR`;</li>
  <li>伸缩性质: `f(delta x) ~ hat(f)(xi//delta)//delta`, `delta gt 0`;</li>
  <li>对称性质: 若 `f(-x) = g(x)`, 则 `hat(f)(-xi) = hat(g)(xi)`;</li>
  <li>微分性质: `f'(x) ~ 2 pi "i" xi hat(f)(xi)`, 其中 `f'` 在 `(-oo, oo)` 上连续且可积;
  </li>
  <li>乘多项式: `-2 pi "i" x f(x) ~ hat(f)'(xi)`;</li>
  <li>卷积性质: `f ** g ~ hat f hat g`, 其中
    <span class="formula">
      `(f ** g)(x) = int_(-oo)^oo f(x-t) g(t) dt`
      `in L(-oo, oo)`.
    </span>
  </li>
</ol>

<p class="remark">
  和 Laplace 变换类似, Fourier 变换将微分运算化为乘多项式, 从而为计算带来便利.
</p>

<p class="example">
  <b>Gauss 函数在 Fourier 变换下不变</b>
  设 `f(x) = "e"^(-pi x^2)`, 则 `hat(f)(xi) = f(xi)`.
</p>

<ol class="proof">
  注意到 `f` 满足微分方程 `f'(x) = -2 pi x f(x)`, `f(0) = 1`.
  下面证明 `hat f` 满足同样的方程:
  <li>由 Poisson 积分,
    <span class="formula">
      `hat(f)(0) = int_(-oo)^oo f(x) dx`
      `= int_(-oo)^oo "e"^(-pi x^2) dx`
      `= 1`.
    </span>
  </li>
  <li>由 Fourier 变换的运算性质及 `f'(x) = -2 pi x f(x)`,
    <span class="formula">
      `hat(f)'(xi) = -2 pi "i" * widehat(x f(x))`
      `= "i" * widehat(f'(x))`
      `= -2 pi xi hat(f)(xi)`.
    </span>
  </li>
</ol>

<ol class="definition">
  <b>好的核函数</b> 令 `K_delta(x) = 1/sqrt delta "e"^(-pi x^2//delta)`,
  `G_delta(x) = "e"^(-pi delta x^2)`, 两个函数互为 Fourier 变换.
  `K_delta` 是一个好的核函数:
  <li>`int_(-oo)^oo K_delta(x) dx = 1`;</li>
  <li>`int_(-oo)^oo |K_delta(x)| dx lt oo`;</li>
  <li>`AA epsi gt 0`, `lim_(delta to 0) int_(|x| gt epsi) |K_delta(x)| dx = 0`.</li>
</ol>

<p class="corollary">
  若 `K_delta(x)` 是一族好的核函数, 则 `delta to 0` 时
  `(f ** K_delta)(x)` 一致收敛到 `f(x)`.
</p>

<p class="lemma">
  <b>内积公式</b> `(f, hat g) = (g, hat f)`, 换言之
  <span class="formula">
    `int_(-oo)^oo f(x) hat(g)(x) dx`
    `= int_(-oo)^oo hat(f)(y) g(y) dy`.
  </span>
</p>

<p class="proof">
  积分换序的合理性由 Fubini 定理保证:
  <span class="formula">
    `int_(-oo)^oo f(x) hat(g)(x) dy dx`
    `= int_(-oo)^oo f(x) int_(-oo)^oo g(y) "e"^(-2 pi i x y) dy dx`
    `= int_(-oo)^oo g(y) int_(-oo)^oo f(x) "e"^(-2 pi i x y) dx dy`
    `= int_(-oo)^oo g(y) hat(f)(y) dy`.
  </span>
</p>

<p class="theorem">
  <b>Fourier 逆变换</b>
  若 `f(x) in L(-oo, oo) nn C^1(-oo, oo)`, 则有<b>反演公式</b>:
  <span class="formula">
    `f(x) = "P.V." int_(-oo)^oo hat(f)(xi) "e"^(2 pi "i" x xi) "d" xi`
  </span>
  其中积分取 Cauchy 主值: `"P.V." int_(-oo)^oo = lim_(N to oo) int_(-N)^N`.
</p>

<ol class="proof">
  <li>先证公式对 `x = 0` 成立.
    令 `K_delta(x) = 1/sqrt delta "e"^(-pi x^2//delta)`,
    `G_delta(x) = "e"^(-pi delta x^2)`.
    注意到两个函数互为 Fourier 变换, 应用内积公式有
    <span class="formula">
      `int_(-oo)^oo f(x) K_delta(x) dx`
      `= int_(-oo)^oo hat(f)(xi) G_delta(xi) "d"xi`.
    </span>
    两边令 `delta to 0`, 由于 `K_delta` 是好的核函数, 上式左边趋于 `f(0)`;
    而上式右边趋于 `int_(-oo)^oo hat(f)(xi) "d"xi = 1`.
  </li>
  <li>一般情形, 记 `F(y) = f(y + x)`, 平移得
    <span class="formula">
      `f(x) = F(0) = int_(-oo)^(oo) hat(F)(xi) "d"xi`
      `= int_(-oo)^oo hat(f)(xi) "e"^(2 pi "i" x xi) "d"xi`.
    </span>
  </li>
</ol>

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</html>
